NAVIER-STOKES-Gleichungen

Schon Anfang des 19ten Jahrhunderts entwickelten der Franzose Navier und der Brite Stokes ein Gleichungssystem, um das Verhalten von Flüssigkeiten zu beschreiben. Dabei werden Viskosität, Druck, Körperkräfte sowie Massen- und Impulserhaltung berücksichtigt.

Die Viskositätskraft

$$\frac{\vec{F}_{\mbox{Viskosität}}}{V} = \eta \nabla ^2 \vec{v},$$

die proportional zur Viskosität $\eta$ in Richtung der Geschwindigkeitsänderung wirkt, die Druckkraft

$$\frac{\vec{F}_{\mbox{Druck}}}{V} = - \nabla P,$$

die entgegen dem Druckgradienten, also in Richtung des größten Druckabfalls wirkt, und eine sogenannte Körperkraft

$$\frac{\vec{F}_{\mbox{Körper}}}{V} = F,$$

wie zum Beispiel die Gravitationskraft ergeben mit dem Impuls $\vec{p}$ und

$$\frac{\vec{F}}{V} = \frac{1}{V}\frac{d\vec{p}}{dt} = \rho \frac{D... ...} = \rho \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \rho \vec{v} \cdot \nabla \vec{v}$$

(Newtons Gesetz der Fluiddynamik) die Gleichung

$$\rho\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \rho \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} = F - \nabla p + \eta \nabla^2 \vec{v}.$$

Teilt man nun durch $\rho$, so erhält man

$$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} = \frac{F}{\rho} - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \vec{v},$$ (2.1)

wobei $\nu = \frac{\eta}{\rho}$ als kinematische Viskosität bezeichnet wird.

Gleichung 2.1 und die Kontinuitätsgleichung

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \nabla (\rho \cdot \vec{v})... ...ace{\nabla \rho}_{=0} - \rho \nabla \cdot \vec{v} = - \rho \nabla \cdot \vec{v}$$ (2.2)

werden zusammen als NAVIER-STOKES-Gleichungen bezeichnet.

Die Kontinuitätsgleichung unter Annahme der Inkompressibilität (Gleichung 2.2) beschreibt in Worten, dass die Änderung der Dichte proportional zum Negativen der Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes, also zum Zufluss ist. Ein positiver Zufluss bedeutet ein Steigen der Dichte.

Diese Einführung zu den NAVIER-STOKES Gleichungen und weiterführende Links finden sich bei [5].

Die vorliegende Arbeit verwendet den LAGRANGE'schen Formalismus, wodurch sich, wie in [2] beschrieben, einige Vereinfachungen ergeben. So kann die für den Massenerhalt zuständige Gleichung 2.2 ganz weggelassen werden, da die Masse auf Partikeln gespeichert ohnehin konstant bleibt.

Da sich die Partikel mit der Flüssigkeit bewegen, wird auch der konvektive Term aus Gleichung 2.1 nicht benötigt, und die linke Seite von Gleichung 2.1 ist nur noch die Zeitableitung der Geschwindigkeit $d\vec{v}/d t$. Mit der Kraft

$$f = F - \nabla p + \nu \nabla^2 \vec{v}$$ (2.3)

ergibt sich als Beschleunigung $\vec{a}$ für das $i$-te Partikel

$$\vec{a}_i = \frac{d\vec{v}_i}{dt}=\frac{f_i}{\rho_i}.$$ (2.4)

Um diese Gleichungen aber numerisch zu lösen, also insbesondere die physikalischen Größen im Raum zu bestimmen, wird hier Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) verwendet.